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年金Annuity―理論編

年金とは、毎年定期的・継続的に給付される金銭のことです。日常生活には無数の年金の例があり、住宅ローン、分割払い、年金保険、国民年金など、すべては年金です。この記事では年金の概念を学ぶ以外、Excelを使用して各種類の複雑な年金計算を解決する方法も学習できます。

年金の態様

年金とはどんな態様ですか?キャッシュフローチャートから、年金の態様をはっきり見分けられ、年金の種類も分かりやすいです。

定額年金

定額年金とは、各期間のキャッシュフローが同額であることを意味し、下図のようなキャッシュフロー図はフラットに見えます。例えば、分割払い、住宅ローン、銀行の定期預金はすべて定額年金に属します。

変額年金

変額年金は各期間の金額が異なることです。変額年金には基本的に2つの種類があります。1つは各期間が前の期間より固定成長率に成長し、もう1つは各期間の金額が異なり不規則であるというものです。

固定成長率の変額年金

固定比例変額年金は次のとおりです。各期間のキャッシュフローは一定的な比率(g)で増加します。つまり、現在の期間のキャッシュフローは前の期間の(1+g)倍になります。例えば、保険会社はインフレの問題を解決するために年金保険を設計しました。年間(期間)に受け取る年金は昨年の(1+2%)倍です。この2%は、保険会社から言ったインフレ率です。 または、給与収入が時間とともに増加するため、銀行も別のローン返済方法を提案できます。各分割払いの返済額は前の期間の(1+g)倍であり、借り手は自分の状況によって早めにローンを返済できます。

不規則な成長率の変額年金

不規則な成長率の変額年金とは、各期間のキャッシュフローには不規則で、通常は暗黙の平均線を中心に変動します。最も典型的な例は、投資商品に関連された年金保険です。より多くの報酬を得るために、一部の年金保険は保険金額の一部を投資商品に関連しています。これより、年金の支払いは毎年あまり確認できないで、投資状況によって異なります。投資額の少ないの一部であるため、基本的に年間支払額は固定金額を中心に変動します。変動の程度は投資比率に関わります。

期首と期末

年金の種類に関係なく、各期間のキャッシュフローは期首と期末に分けられます。次の図の定額年金を例にすると、キャッシュフローが6期間で、各期間の金額が100ドルで、上下部が2つのキャッシュフローに分けられますが、上部は期首のキャッシュフローで、下部は期末のキャッシュフローです。

例えば、Peterさんは毎年の年初に1万ドルを預金し、期間は10年、年利は5%で、10年後の将来価値を求めます。期首に預金するため、これは期首の年金です。別の例では、Roseさんは銀行から年利5%で2年間のローンを取り、毎月の月末に元利2万ドルを返済し、ローンの金額を求めます。この例では、1ヵ月は1期間に等しい、合計で24期間があり、毎月の元利の返済は期末(月末)に発生するため、これは期末の年金です。

年金の現在価値と将来価値の計算方法

年金について投資家が最も知りたいのは、年金の将来価値と現在価値です。例えば、0ドルから、毎月に1万ドルで定期預金の場合、1年後には返済できる金額はいくらですか?もう1つの例は、月額2万ドルの住宅ローンが20年間年利3%で支払います。現在価値はいくらですか。

これらの年金の現在価値と将来価値には数式で計算可能ですが、これらの数式を理解するには、数学を理解する必要があります。特に、固定成長率の変額年金と不規則な成長率の変額年金です。著者は一連のExcel財務モデルを提供するため、読者がそれを使用して、年金の現在価値と将来価値を計算できます。各種類の年金に対応します。

単一の取引の現在価値と将来価値

年金とは、実際には複数のキャッシュフローを意味します。最も簡単な計算方法は、各期間のキャッシュフローを単一の取引として現在価値または将来価値を計算し、各取引の現在価値または将来価値を合計することです。単一の取引の金額がPVに設定し、各期間の利率がn期間後に、単一の取引の将来価値の数式は次のとおりです。

FV = PV*(1+rate)n ——-数式(1)

例えば、112ドルの単一の取引は5%の利率で3期間後に、将来価値は“FV =112*(1+5%)3”となります。Excelの数式:=112*(1+5%)^3 = 129.65

将来価値のFVが分かる場合、数式(1)に従って、単一の取引の現在価値の数式を求められます。

PV = FV/(1+rate)n ——-数式(2)

各種類の年金の現在価値と将来価値には、これらの2つの数式のみが必要です。

Excelで将来価値と現在価値を計算する

年金の計算式に心配する必要がなく、計算方法を知っている限りに、Excelで年金を気楽に計算できます。このExcelファイルには2つのワークシートがあります。

  • 比例年金
  • 非比例変額年金

2つのワークシートはほぼ同じです。列B(13行目以下)には各期間のキャッシュフローが含まれています。列C、Dは「将来価値」の値であり、列Cは期末で、列Dは期首です。 列E、Fは「現在価値」の値であり、列Eは期末で、列Fは期首です。

年金の将来価値

次の図は不規則な成長率の変額年金であり、各期間の金額が異なるため、各期間を単一の取引と見なして将来価値を計算し、すべての値を合計する必要がまります。この方法はExcelの計算に最適で、他の複雑な数式を理解する必要はなく、加算、減算、乗算、除算を行うだけで十分です。

上記の図のキャッシュフローはセルB13〜B18に表示されます。キャッシュフローはすべて期末に発生するため、列Cを参照するだけでいいです。セルC13〜C18は、セルB13〜B18の各「単一の取引」の将来価値の値であり、数式(1)のみが使用されます。例えば、セルC13はセルB13の将来価値で、セルC14はセルB14の将来価値です。セルC12は年金の将来価値で、つまりセルC13〜C18の合計です。

キャッシュフローがすべて期首に発生する場合、将来価値を計算する場合は、列Dを参照するだけでいいです。列Dと列Cの計算の違いは、単一の取引が1期間余計だけで、他にはほぼ同じです。

年金の現在価値

年金の現在価値を計算することには、各期間の年金の金額を単一の取引に分けて、それらの値を合計します。Excelファイルでは、列E、Fは「現在価値」の値であり、列Eは期末で、列Fは期首です。次の図はキャッシュフローが期末に発生する年金なので、列Eを参照するだけでいいです。セルE13〜E18は、セルB13〜B18の各「単一の取引」の現在価値の値です。数式(2)のみが使用されます。例えば、セルE13はセルB13の将来価値の値で、セルE14はセルB14の将来価値の値です。セルE12は、年金の将来価値で、つまりセルE13〜E18の合計です。

比例年金の計算

上記で記述したのは不規則な成長率の変額年金の将来価値と現在価値の計算方法であり、各期間のキャッシュフローが1つずつ記載されている限り、年金の期末と期首に分け、将来価値と現在価値が1つずつ計算できることが分かります。各期間が同じ金額または比例年金の計算はもっと簡単です。

比例年金の各期間の金額(セルB13〜B18)を一つずつ手動で入力する必要はありません。次の図に示すように、各期間の金額(セルB1)と成長率(セルB2)を入力するだけで、セルB13〜B18の値は自動的に計算されます。他には不規則な成長率の変額年金と同じです。成長率が0%で、つまり各期間の金額が同じである場合、定額年金に相当します。

期末と期首の関係

年金の現在価値または将来価値に関係なく、「期首年金」は「期末年金」の(1+rate)倍に等しくなります。例えば、上記の図(セルC12)の期末年金の将来価値は713.11で、期間あたりの利率は5%であるため、期首年金の将来価値は713.11*(1+5%) = 748.77です。現在価値も同じ計算方法で、532.13*(1+5%) = 558.74です。

そのため、期末年金の将来価値が分かる場合は、(1+rate)を掛けることで、期首年金の将来価値をすぐに計算できます。同様に~~~期末年金の現在価値が分かる場合、(1+rate)を掛けるだけで、期首年金の現在価値をすぐに計算できます。

期間の増減

現在のワークシートには6期間しかありませんが、このExcelの数式は、ユーザーが期間を簡単に増減できるように設計されています。

期間を増やす

1、期間1〜6の中に新しい列を挿入します

2、第2期間(次の図のセルA14〜F14)をクリックし、マウスをセルF14の右下にある小さな黒いブロックに移動します。+記号が表示されたら、左ボタンをクリックして期末までスクロールします。つまり、第2期間の数式を他の期間にコピーします。他の期間を変更する必要がありません。最後に、セルC12の数式範囲が期首から期末までの合計でかどうかを確認すればいいです。

期間を減らす

期間を減らすのはさらに簡単です。余計の期間の列全体を削除するだけでいいです。期末から削除する必要があることに注意してください。

読者が期間を増やしたい場合は、期末の列をコピーして、追加する期間に貼り付けるだけでいいです。他の数式を変更する必要はありません。ただチャートの一部のみを手動で変更する必要があります。

年金の応用

内容が多いすぎるため、年金の応用には別の記事(年金(Annuity)-応用編)で説明されています。応用編にはこの記事で作成したExcel財務モデルを使用して複雑な年金の問題を解決し、簡単で明確になるようにします。

結論

Excelで年金の現在価値と将来価値を計算するステップにより、年金の将来価値の意味を明確に理解できる以外、非常に複雑な変額年金も簡単に処理できます。年金の計算式とか、等比数列とか、すべて忘れてください。

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